Alfred Tarski

Alfred Tarski, né le 14 janvier 1902 à Varsovie et mort le 26 octobre 1983 à Berkeley en Californie était un logicien et un philosophe polonais.

Éléments biographiques

Après avoir reçu une excellente éducation générale (qui comprenait, outre les matières habituelles, le russe, l’allemand, le français, le grec ancien et le latin) et fait un court service militaire dans l’armée polonaise, Alfred Teitelbaum intègre en 1918 l’université de Varsovie récemment ouverte. Converti au catholicisme, il prend le nom de Tarski en 1923, alors qu’il avait déjà publié sous son premier nom. Il soutient, également en 1923, sa thèse de doctorat (sous la direction de Stanislaw Lesniewski), consacrée à la théorie des ensembles. Il publie un texte avec Stefan Banach qui contient ce qu’on a appelé par la suite le paradoxe de Banach-Tarski.

Dans les années 1922-1925, Tarski enseigne à l’Institut pédagogique de Varsovie, puis est ensuite nommé privat docent de mathématiques et de logique à l’Université de Varsovie ; plus tard il devient assistant de Jan Lukasiewicz. N’ayant cependant pas réussi à obtenir un poste à plein temps à cette même université, il enseigne parallèlement les mathématiques dans un des lycées de Varsovie. Il épouse Maria Witkowska en juin 1929. Il séjourne ensuite à Vienne en 1930 et, pour quelques mois encore, en 1935. Pendant cette période, il publie (en 1933) son article probablement le plus important, Pojęcie prawdy w językach nauk dedukcyjnych (Le concept de vérité dans les langues des sciences déductives, Prace Towarzystwa Naukowego Warszawskiego, Wydzial III Nauk Matematyczno-Fizycznych 34, Varsovie).

Proche du Cercle de Vienne, il fait partie de École de Lvov-Varsovie, comme beaucoup de ses professeurs de l’Université de Varsovie. Il tente sans succès d’obtenir le poste de professeur à l’Université de Lvov. Tarski, qui séjourne aux États-Unis depuis août 1939, est surpris par la déclaration de guerre, et décide d’y rester. Sa femme et ses enfants l’y rejoignent, grâce à l’aide d’amis européens. Le reste de sa parentèle meurt dans les camps nazis. Après avoir enseigné dans plusieurs universités, Tarski obtient un poste permanent à l’université de Berkeley en Californie en 1942. Il voyage beaucoup : en 1950 – il donne des cours à l’University College de Londres et en 1955 à l’Institut Henri-Poincaré de Paris.

Alfred Tarski a été fait docteur honoris causa des universités de Calgary, Santiago du Chili et Aix-Marseille.

Travail philosophique

Tarski est notamment connu pour sa théorie de la vérité qui jeta les bases de la sémantique et de la théorie des modèles. Il eut, par ailleurs, une influence déterminante sur l’épistémologie de Karl Popper, (de l’aveu même de ce dernier), laquelle, a une dette considérable à la théorie de la vérité de Tarski comme correspondance avec les faits. (Voir le livre de Popper intitulé : “Les deux problèmes fondamentaux de la théorie de la connaissance”, édition Hermann, Paris, 1999).

En 1933, Tarski publie “Pojęcie prawdy w językach nauk dedukcyjnych” (“Le concept de vérité dans les langues des sciences déductives”. La traduction française, dans Logique, sémantique, méta-mathématique, A. Colin, 1976, a pour titre « Le concept de vérité dans les langages formalisés ».

Il donne le schéma d’interprétation de la vérité d’un énoncé, mais le prédicat “vrai” ne peut pas appartenir au langage sur lequel il porte, pour éviter le paradoxe du menteur.

“‘P’ est vrai” si et seulement si p. (où p est la proposition exprimée par l’énoncé ‘P’)

Un des débats philosophiques sur la théorie tarskienne est de savoir si elle présuppose une vérité comme correspondance à la réalité (correspondantisme) ou si elle demeure neutre et serait plutôt une théorie dite “déflationniste” (qui n’ajoute aucune entité) ou simplement “décitationnelle” (c’est-à-dire que le prédicat de vérité permet de retirer les guillemets de la citation).

Travail logique et mathématique

Le théorème de Tarski, montre que la notion de vérité des énoncés d’un langage formalisé, suffisamment riche, ne peut être définie dans ce langage, mais dans ce qu’il appelle un métalangage (metajęzyk). La démonstration introduit des techniques assez proches de celles de Gödel.

Tarski est l’auteur de nombreux résultats féconds dont il est difficile de faire l’inventaire. Il a notamment formulé plusieurs énoncés équivalents à l’axiome du choix et montré la décidabilité de théories comme celle des algèbres de Boole ou des corps algébriquement clos et l’indécidabilité de théories comme celle des treillis.

Paradoxe de Banach-Tarski

Le paradoxe de Banach-Tarski, dû à Stefan Banach et Alfred Tarski, montre qu’il est possible de couper une boule de \mathbb R^3 en un nombre fini de morceaux et de réassembler ces morceaux pour former deux boules identiques à la première, à une isométrie près. Ce résultat paradoxal implique que ces morceaux soient non-mesurables, sans quoi on obtiendrait une contradiction (le volume étant un exemple de mesure, cela veut plus simplement dire que ces morceaux n’ont pas de volume).

Le paradoxe de Banach-Tarski se généralise à tous les \mathbb R^n, n \geq 3, mais ne peut se réaliser dans le plan \mathbb R^2.

La démonstration de ce paradoxe utilise l’axiome du choix, nécessaire pour construire des ensembles non mesurables.

Préliminaires

Le groupe des isométries est l’ensemble de toutes les translations, symétries planaires, rotations et de leur composées, c’est-à-dire l’ensemble de toutes les manières de prendre une figure dans l’espace et de la déplacer ou de la faire tourner sur elle-même sans la déformer (et en particulier sans changer sa taille). Une isométrie peut se voir comme une fonction mathématique g et une figure comme un ensemble de points E. Dire qu’il existe un ensemble F tel que g(E) = F, c’est simplement dire en gros que E et F ont la même forme et la même taille, bref qu’ils sont identiques à leur position près.

Deux ensembles sont donc équidécomposables si on peut couper le premier en morceaux et reconstruire le deuxième simplement en déplaçant les morceaux (c’est-à-dire en leur appliquant une isométrie). Un ensemble est dédoublable s’il est équidécomposable à une « moitié » de lui-même.

Une mesure est en gros une fonction mathématique qui satisfait aux mêmes conditions qu’une longueur. C’est donc une généralisation de la longueur (ou du volume). Un bon exemple de mesure est la mesure de Lebesgue : si on veut mesurer un intervalle, on prend sa longueur et si on a un ensemble « en plusieurs morceaux », on prend la somme de la longueur de chacun des morceaux. Par exemple, si deux bouteilles d’un litre de vin sont posées à deux endroits différents, physiquement il y a deux objets distincts. C’est ici que le volume montre « ses limites ». Mais mathématiquement on peut considérer que ces deux bouteilles ne forment qu’un seul et même objet dont le volume est 2 litres. C’est un exemple de mesure.

Plus généralement, la mesure d’un « objet » vide vaut 0, alors que la mesure d’un ensemble constitué de plusieurs « objets » est la somme des mesures de chacun des objets. Ce qu’affirme ce paradoxe, c’est qu’on peut construire des ensembles suffisamment « tordus » pour qu’on ne puisse pas les mesurer, c’est-à-dire qu’on ne peut pas leur associer une valeur en général (ou un volume ou une longueur en particulier) sans violer les deux propriétés évoquées plus haut. Plus précisément, si on essaie de trouver une manière de leur associer un volume, on peut prouver qu’en continuant d’appliquer cette méthode, on trouvera une partie qui a le même volume que le tout, ou un verre à eau a le même volume qu’un camion citerne, ce qui est absurde. Donc, il faut reconnaitre que le volume d’un tel ensemble n’existe pas. Bien sûr, il s’agit d’une propriété mathématique, on ne pourra jamais construire physiquement un tel ensemble.

Le paradoxe affirme que l’on peut multiplier les petits pois ou transformer une grenouille en quelque chose de plus gros que le bœuf dès l’instant qu’on passe par une étape où elle est coupée en morceaux non mesurables, où le volume perd son sens. Par la suite, on peut réassembler ces morceaux en un objet « plus gros » sans avoir à dire que la grenouille et le bœuf ont le même volume puisque le volume du résultat n’est pas la somme des volumes des morceaux.

Ce paradoxe a pu être perçu comme une rupture entre les mathématiques et la physique, car en pratique une telle transformation est impossible avec des objets de la vie courante : elle nécessite des coupures infiniment fines, ce qui est physiquement impossible, à cause de la nature discontinue de la matière à l’échelle microscopique voire de son évanouissement à l’échelle quantique.

Énoncé plus précis

Soient A, B deux parties d’un ensemble E. On dit que A et B sont équidécomposables suivant un groupe de transformation G s’il existe deux suites finies d’ensembles (F_n)_{n\in I} et (H_n)_{n\in I} telles que :

\bigcup_{n\in I} F_n = A
\bigcup_{n\in I} H_n = B
\forall i,j \in I, i\ne j, F_i\cap F_j= H_i\cap H_j=\emptyset
\forall n \in I, \exists g \in G | g(F_n)=H_n

Les trois premières conditions équivalent à dire que les deux suites sont des partitions de A et B. Par exemple, tout parallélogramme est équidécomposable à un rectangle. L’équidécomposabilité est une relation d’équivalence : elle est symétrique, réflexive et transitive. À noter ici qu’il n’est pas intéressant d’inclure les homothéties dans G. On prend donc généralement le groupe des isométries (translations et rotations).

Un ensemble E est dit « dédoublable » s’il existe deux ensembles A et B non vides tels que E = A \cup B (union disjointe) et tels que A, B, E soient équidécomposables.

Démontrer le résultat de Banach-Tarski revient à montrer que la boule unité de \mathbb R^3 est dédoublable suivant le groupe des isométries de \mathbb R^3.

Il faut enfin remarquer le rôle essentiel joué dans ce résultat par la non commutativité du groupe des rotations de l’espace : on démontre que le paradoxe n’est pas possible dans le plan.

Un exemple d’ensemble non mesurable : l’ensemble de Vitali

Soit R la relation d’équivalence telle que deux réels sont équivalents si et seulement si ils diffèrent d’un rationnel, ce qui se formalise par :

\forall x,y \in\mathbb R, x R y \Leftrightarrow x-y \in\mathbb Q,

On construit l’ensemble quotient \mathbb R/R, qu’on note aussi \mathbb R/\mathbb Q (dans ce cas, la relation d’équivalence est sous-entendue).

Soit Sn un ensemble tel que Sn contienne un et un seul élément de chaque classe d’équivalence de \mathbb R. On utilise l’axiome du choix, car on ne sait pas construire de fonction de \mathbb R/R \rightarrow \mathbb{R} telle qu’elle renvoie un et un seul élément de chaque classe d’équivalence, on est donc obligé de supposer son existence.

On peut montrer que Sn n’est pas mesurable au sens de Lebesgue.

Bibliographie

Traductions françaises

Granger, Gilles-Gaston et al. 1974. Alfred Tarski. Logique, sémantique, métamathématique, 1923-1944, 2 volumes, Paris, Armand Colin.

Ouvrages de Tarski en anglais

Alfred Tarski “The semantic conception of truth and the foundations of semantics”, Philosophy and Phenomenological Research, 4, 1944, pp. 341-376
Alfred Tarski, 1983 (1956). Logic, Semantics, Metamathematics, Corcoran, J., ed. Hackett. 1st edition edited and translated by J. H. Woodger, Oxford Uni. Press.
Alfred Tarski, 1986. “What are Logical Notions?”, Corcoran, J., ed., History and Philosophy of Logic 7: 143-154.
Alfred Tarski, 2002, “On the Concept of Following Logically” trans. Magda Stroińska and David Hitchcock. History and Philosophy of Logic 23: 155-196.
Alfred Tarski & Givant, Steven, 1987. 2004, A Formalization of Set Theory Without Variables, American Mathematical Society.

Ouvrages de Tarski en allemand

Alfred Tarski, “Über den Begriff der logischen Folgerung”, Actes du Congrès international de philosophie scientifique, Sorbonne, Paris 1935, vol. VII, Logique, Paris, Hermann, 1936, p.1-11.
Alfred Tarski, “Grundlegung der wissenschaftlichen Semantik”, Actes du Congrès international de philosophie scientifique, Sorbonne, Paris 1935, vol. III, Language et pseudo-problèmes, Paris, Hermann, 1936, p.1-8.
Alfred Tarski, Einfürhung in die Mathematische Logik und in die Methodologie der Mathematik. Wien : Springer, 1937. 166p.

Biographie

Solomon Feferman, Anita Burdman Feferman, Alfred Tarski, Life and Logic, Cambridge : Cambridge University Press, 2004. ISBN 0-521-80240-7.

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