Gottlob Frege

Friedrich Ludwig Gottlob Frege (8 novembre 1848 à Wismar ~ 26 juillet 1925 à Bad Kleinen), était un mathématicien, logicien et un philosophe allemand.

Frege est certainement un des plus grands logiciens depuis Aristote, Ockham et Leibniz. Il a créé la logique moderne et plus précisément le calcul propositionnel moderne, le calcul des prédicats. Il a en outre créé une langue artificielle (notée au moyen des symboles logiques qui a inspiré toutes les logiques postérieures), il a formalisé entièrement la logique et en a fait par là un véritable calcul logique.

Il est en outre l’un des plus importants partisans du logicisme. C’est à la suite de son ouvrage, Grundgesetze der Arithmetik, où il tente de dériver l’arithmétique de la logique, que Russell lui fait parvenir le paradoxe qui porte son nom. Néanmoins Frege n’entendait nullement réduire le raisonnement mathématique à sa seule dimension logique. Son idéographie visait à associer sur la même page, et de manière toute explicite, le contenu mathématique (ligne horizontale de la page) et la structure logique (ligne verticale).

BIOGRAPHIE

Gottlob Frege est le fils d’Alexander Frege et d’Augusta Bialloblotzky. Son père est professeur de mathématiques et directeur de lycée à Wismar.

Frege étudie à l’université d’Iéna avec Ernst Abbe, qui soutient sa carrière scientifique, et avec le philosophe Kuno Fischer avec lequel il a d’importants échanges.

En 1871, Frege étudie à l’université de Göttingen, où il soutient sa thèse de doctorat en 1873 sur une question de géométrie (Über eine geometrische Darstellung der imaginären Gebilde in der Ebene). Puis, il revient à Iéna où il soutient son habilitation sur le thème des méthodes de calcul (Rechnungsmethoden, die sich auf eine Erweiterung des Größenbegriffes gründen).

Il fait ensuite toute sa carrière à l’université d’Iéna en tant que privatdozent puis en tant que professeur.

En 1887 il épouse Magarete Lieseberg, qui meurt en 1904.

En 1902, Frege est éprouvé par la découverte du paradoxe de Russell. Déprimé, il ne publie plus que des travaux mineurs. En 1923, Frege abandonne le logicisme, qu’il a défendu sa vie durant, et cherche désormais une fondation des mathématiques sur la géométrie. Ses derniers écrits dénotent sa haine de la démocratie, de l’Église catholique, des Français, des communistes et des Juifs. Il exalte les valeurs du peuple allemand et témoigne son admiration pour Hitler[1].

Le seul étudiant important de Frege fut Rudolf Carnap, qui a poursuivi son œuvre logique et l’a rendue célèbre par la suite.

APPORT DE FREGE AUX MATHEMATIQUES

L’apport de Frege aux mathématiques concerne entre autres :

* la théorie de la démonstration et de la définition ;
* et l’analyse des nombres ;

ELEMENTS DE BASE DE SA LOGIQUE

Frege a développé une méthode de formalisation de la pensée fondatrice de la logique moderne. Ces travaux ont notamment trait aux points suivants :

* formalisation systématique ;
* analyse des phrases complexes ;
* analyse des quantificateurs ;
* théorie de la démonstration et de la définition ;
* analyse des nombres ;

Le développement d’une notation formelle de la pensée est une tentative de réaliser l’idée de Leibniz d’une langue caractéristique universelle. Cette notation est exposée en 1879, dans Begriffsschrift, puis en 1893, dans Grundgesetze der Arithmetik.

Dans sa logique, une expression complète est une expression signifiante, dénotant un objet :

* les noms simples d’objet : par exemple, « 2 » ;
* les noms complexes d’objet : « (2+2) » ;
* les propositions.

Les deux derniers types d’expression contiennent des fonctions, par exemple, dans le nom complexe « (2)2 », « ( )2 » est la fonction, les parenthèses indiquant la place des arguments de la fonction. Sans ces arguments (de type simple ou complexe), la fonction est incomplète et s’appelle un concept.

L’objet « (2+2) » dénote le résultat de son application sur les arguments, à savoir « 4 » ; en revanche, les propositions (Frege écrit « concept ») dénotent des valeurs de vérité. Il y a deux valeurs de vérité :

* le Vrai : « (2+2)=4 » dénote le Vrai ;
* le Faux : « (2+2)=5 » dénote le Faux.

Dans cette conception, une prédication s’analyse comme une fonction.

CALCUL DES PREDICATS

Un prédicat est donc une fonction d’une ou plusieurs variables que ses arguments divisent en vrai ou en faux. La proposition : « Le soleil brille » signifie que l’objet dénoté par Le soleil tombe sous le concept signifié par brille. Le concept est noté B( ) ; Le soleil brille est noté B(s). Il y a également des fonctions à deux, trois, quatre… arguments : on note F(( ),( )), une fonction à deux arguments.

PHILOSOPHIE DU LANGAGE

Selon Frege, d’une part, la pensée est inséparable du langage, qui permet à l’attention de se libérer de l’immédiateté par des éléments sensibles, les signes; le langage libère la pensée comme la technique de navigation contre le vent libère du vent par le vent. Mais, d’autre part, les langages ordinaires pèchent par équivocité des signes, et aussi par le fait qu’ils ne sont pas calqués sur les lois de la pensée, mais plutôt sur la psychologie humaine. L’écriture constitue une étape importante dans la libération de la pensée rigoureuse; elle permet de s’appuyer sur des signes constants, et aussi de rapporter librement l’énoncé aux lois de la logique. Dans ces conditions, la première tâche de la logique sera d’édifier un langage logique aussi rigoureux que possible, où toute lacune dans l’exposé des raisons sera aperçue d’un coup d’oeil. (Que la science justifie le recours à une idéographie, article publié en 1882 dans le Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik (81).)

Frege a développé une conception du langage à la suite de ses recherches logiques. Über Sinn und Bedeutung est l’article classique qui expose deux problèmes à propos de la signification des phrases, et où il montre que l’on doit distinguer sens et dénotation :

* le problème du jugement d’identité : « a=b » est un jugement d’identité, dans lequel « a » et « b » dénotent des objets. « a=b » est vrai si l’objet « a » est identique à l’objet « b », en d’autres termes si a et b dénotent le même objet.
* les attitudes propositionnelles.

SENS ET DENOTATION

(Pour la critique de cette théorie par Russell, voir Description définie)

Frege distingue sens et dénotation ; la dénotation est l’objet auquel on fait référence, le sens est le mode de donation de la dénotation. Exemple :

* « L’étoile du matin » et « l’étoile du soir » ont des sens différents mais la même dénotation (Vénus).
* « L’étoile la plus éloignée de la terre » a un sens (Sinn) mais n’a pas de dénotation (Bedeutung).

Cette distinction, qui sera rejetée par Russell, a pour objet d’expliquer qu’une formule comme a=b ait une utilité, c’est-à-dire qu’elle ne se réduit pas à a=a. Nous apprenons par cette formule que deux concepts distincts renvoient à un seul et même objet. En effet le concept se dit d’un objet, mais ne se confond pas avec lui. Le cheval est en fait un certain objet que nous dénotons par sa propriété d’être un certain cheval. Il y a un cheval veut dire qu’il existe un x (objet dénoté), tel qu’il est un cheval (concept signifié). En effet, le langage désigne le plus souvent moins chaque objet par un nom propre que par une catégorie commune à plusieurs objets.

Notons que Frege explique qu’il ne faut pas psychologiser cette distinction. Le sens n’est nullement la représentation subjective que chacun introduit sous le concept. Il est rigoureux et universel. L’expression “2+2” a la même dénotation que “3+1”, mais non la même signification. Elle ne renvoie pourtant en rien à quelque image subjective.

INFLUENCE

De son vivant, les articles de Frege furent soit refusés, soit négligés, tant par les logiciens que les philosophes. C’est Russell, qui le premier, reconnut l’importance de cette oeuvre.

L’influence de Frege fut double.

1. Incontestablement, il est l’inventeur de la logique moderne, livrant ainsi un formidable outil aux les mathématiques contemporaines.
2. Il est un des pères de la philosophie analytique et a influencé par ses travaux Russell, Whitehead, Wittgenstein.

Enfin, le père de la phénoménologie, Husserl, critiqué âprement dans un article de Frege, et accusé de psychologisme, modifia ses conceptions.

PUBLICATIONS

* L’Idéographie (Begriffsschrift, 1879), Vrin, 1999
* Écrits logiques et philosophiques, Points essais Seuil, 1971 contenant :
o Que la science justifie un recours à l’idéographie (1882)
o Sur le but de l’idéographie (1882)
o Fonction et concept (Funktion und Begriff, 1891)
o Sens et dénotation (Sinn und Bedeutung, 1892)
o Concept et objet (Über Begriff und Gegenstand, 1892)
o Qu’est-ce qu’une fonction ? (Was ist eine Funktion?, 1904)
o Recherches logiques (Eine logische Untersuchung : « Der Gedanke », « Die Verneinung », « Gedankengefüge », 1918-1923)
* Les Fondements de l’arithmétique (Die Grundlagen der Arithmetik, 1884), L’ordre philosophique, Seuil, 1969
* Écrits posthumes, Jacqueline Chambon, 1994
* Frege-Husserl Correspondance, Trans-Europ-Express, 1987 (bilingue)
* Frege-Hilbert Correspondance, 1899-1900, Logique et fondements des mathématiques – Anthologie (1850-1914) sous la direction de François Rivenc et Philippe de Rouihan, Payot, 1992

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